逆理その２

けふは誕生日のパラドックスです。一般には逆理とはまた違うんですが、人間の直感と数学的な確立との違いってことで。
誕生日のパラドックスとは「何人集まればその中に同じ誕生日の人がいる確率が50％を超えるか?」という問題です。
けっこう必要な気がしますが、答えは２３人です。
直感的な答えよりもずっと少ないと思います。
誕生日のパラドックスは論理的な矛盾に基づいているという意味でのパラドックスではなくて、数学的に正しい結果が一般的な直感と反しているという意味でのパラドックスです。
以下証明

• ポイント

部屋に22人の人間がいます。あなたがその部屋に入ったときに、「あなたと同じ」誕生日の人がいる確率は50％ではありません。その確率はずっとずっと低いです。これは、「あなた以外の人」の誕生日が同じであるという可能性は考慮されないからです。つまり同じ誕生日の人は「２３人中のだれでもいい」んです。

「n人の中で同じ誕生日の人が少なくとも2人いる場合の確率」は「n人の誕生日が全て異なる場合の確率」の余事象です。
んで「n人の誕生日が全て異なる場合の確率」は
　です。
よって「n人の中で同じ誕生日の人が少なくとも2人いる場合の確率」は
となります。
したがってn=23のとき、p=0.507...となります。　　　　　Ｑ.Ｅ.Ｄ.

うおっ！キーワードとTeXの式が隠れない！！

• けふのBGMその２ 　ローレン・ウッド　"Fallen"